Τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας

1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη τετράγωνο εμβαδού ίσο με το εμβαδόν δοθέντος κύκλου.
2. Ο διπλασιασμός του κύβου, να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη κύβος όγκου διπλάσιου του όγκου δοθέντος κύκλου.
3. Η τριχοτόμηση γωνίας, να χωριστεί με χάρακα και διαβήτη δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη.
Τα προβλήματα αυτά απασχόλησαν σχεδόν όλους τους γεωμέτρες της αρχαιότητας και έγιναν ευρέως γνωστά, όπως φαίνεται από την αναφορά τους, ήδη από τον 5ο αιώνα π.Χ. σε τουλάχιστον δύο θεατρικά έργα της εποχής. Ο Ευρυπίδης (485-407 π.Χ.) αναφέρει το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου και ο Αριστοφάνης (452-385 π.Χ.) το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.

Τι σημαίνει κατασκευή με χάρακα και διαβήτη;

Γεωμετρικά σημαίνει ότι στη λύση επιτρέπεται η χρήση μόνο ευθειών και κύκλων. Οι Αρχαίοι Έλληνες έλυσαν όλα τα παραπάνω προβλήματα χωρίς όμως τον περιορισμό η κατασκευή να γίνει με χάρακα και διαβήτη, δηλαδή εκτός από ευθείες και κύκλους στη λύση χρησιμοποίησαν και άλλες καμπύλες.
Από τότε που τέθηκαν τα παραπάνω προβλήματα πέρασαν περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια ώσπου οι μαθηματικοί να καταφέρουν να αποδείξουν ότι τα προβλήματα αυτά δεν λύνονται μόνο με χάρακα και διαβήτη.
Οι αποδείξεις στηρίχτηκαν στην ανάπτυξη της Αναλυτικής Γεωμετρίας και της Άλγεβρας. Συγκεκριμένα, η απόδειξη της αδυναμίας λύσης με χάρακα και διαβήτη του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου δόθηκε από τον Lindemann το 1882, του διπλασιασμού του κύβου από τον Mobius το 1829 και της τριχοτόμησης της γωνίας από τον Wantzel το 1837.

1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου

Ο τετραγωνισμός του κύκλου, δηλαδή η εύρεση του εμβαδού του κύκλου απασχόλησε τους μαθηματικούς από την εποχή των Αιγυπτίων και Βαβυλωνίων, Πολλοί είναι οι Έλληνες μαθηματικοί που ασχολήθηκαν με τέτοια προβλήματα και που σε αρκετές περιπτώσεις τα έλυσαν. Μερικοί από αυτούς είναι Αναξαγόρας από τις Κλαζομενές(499-428 π.Χ.), Ιπποκράτης ο Χίος, Αντιφών ο Βρύσωνας(5ος αιώνας π.Χ.), Δεινόστρατος(4ος αιώνας π.Χ.) που χρησιμοποίησε την τετραγωνίζουσα(μια μη αλγεβρική καμπύλη) για να τετραγωνίσει τον κύκλο και Αρχιμήδης(287-212 π.Χ.). Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε την επίπεδο έλικα για να τετραγωνίσει τον κύκλο.
Επίσης με την μέθοδο Εξάντλησης του Ευδόξου ο Αρχιμήδης χρησιμοποιώντας εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα σε κύκλο, απέδειξε ότι το εμβαδόν ενός κύκλου ισούται με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου που η μία κάθετη πλευρά είναι ίση με την ακτίνα και η άλλη με την περιφέρεια του κύκλου.
Με το θεώρημα αυτό ο τετραγωνισμός του κύκλου ανάγεται στην προσπάθεια να βρεθεί ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς την διάμετρο, που σήμερα συμβολίζεται με το π.
Ο στόχος του βιβλίου του Αρχιμήδη Κύκλου Μέτρησις είναι να υπολογίσει αυτόν το λόγο χρησιμοποιώντας εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα σε κύκλο. Η μέθοδος αυτή του Αρχιμήδη χρησιμοποιήθηκε αργότερα από Άραβες, Ινδούς και Ευρωπαίους μαθηματικούς για τον υπολογισμό του π με συνεχώς μεγαλύτερη ακρίβεια, χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα με όλο και περισσότερες πλευρές.

2. Ο διπλασιασμός του κύβου

Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό και σαν Δήλιο πρόβλημα, από τον χρησμό που δόθηκε στους κατοίκους της Δήλου ότι οι ταλαιπωρίες τους θα σταματούσαν αν διπλασίαζαν τον κυβικό βωμό του Απόλλωνα που βρισκόταν στη Δήλο.

Οι Δήλιοι ζήτησαν τη βοήθεια του Πλάτωνα όταν πέρασε από το νησί τους. Ο Πλάτωνας τους εξήγησε ότι ο Θεός με τον χρησμό αυτό ειρωνεύεται τους Έλληνες επειδή παραμελούν την παιδεία και τους ζητάει να μελετήσουν πιο συστηματικά τη Γεωμετρία.
Ο Πλάτωνας παρέπεμψε τους Δήλιους στους μαθηματικούς Εύδοξο τον Κνίδιο και Ελίκωνα τον Κιζυκινό, που ξέρουν πως να λύσουν το συγκεκριμένο πρόβλημα. Τόνισε όμως ότι ο Θεός δεν ζητάει να λύσουν τον πρόβλημα, αλλά με τον χρησμό προστάζει τους Έλληνες να σταματήσουν τον πόλεμο και να ασχοληθούν με τις Μούσες(Επιστήμες), να καταπραΰνουν τα πάθη τους και με τη Φιλοσοφία και τα Μαθηματικά να βελτιώσουν τις σχέσεις τους.
Το Δήλιο πρόβλημα απόκτησε δημοσιότητα όταν το ανέφερε, σε μια τραγωδία o βασιλιάς της Κρήτης Μίνως διαμαρτυρόμενος γιατί το κενοτάφιο, που προοριζόταν για το γιο του Γλαύκο, ήταν πολύ μικρό για βασιλικό μνημείο και απαιτούσε το διπλασιασμό του όγκου του χωρίς να αλλάξει το κυβικό του σχήμα.
Το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου είναι ουσιαστικά η κατασκευή της κυβικής ρίζας του 2. Ο πρώτος που είχε ουσιαστική συμβολή στη λύση του διπλασιασμού του κύβου ήταν ο Ιπποκράτης ο Χίος που το 430 π.Χ. περίπου, μετασχημάτισε το πρόβλημα, στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων σε δύο δοθέντα μεγέθη. Όλοι οι μαθηματικοί που έδωσαν λύσεις στηρίχτηκαν στην παρατήρηση του Ιπποκράτη.
Η πρώτη λύση δόθηκε από τον Αρχύτα(430-365 π.Χ.) που χρησιμοποίησε έναν κύλινδρο εκ περιστροφής, έναν κώνο εκ περιστροφής και έναν τόρο. Ο Εύδοξος ο Κνίδιος(408-355 π.Χ.) χρησιμοποίησε για τη λύση μια αλγεβρική καμπύλη τετάρτου βαθμού που είναι γνωστή σαν Καμπύλη του Ευδόξου.
Ο Μέναιχμος χρησιμοποίησε ζεύγος κωνικών τομών για να διπλασιάσει τον κύβο: ή δύο παραβολές ή μια παραβολή και μια υπερβολή. Ο Πλάτωνας και ο Ερατοσθένης έδωσαν μηχανικές λύσεις. Ο Νικομήδης έδωσε λύση με την κογχοειδή του, μια αλγεβρική καμπύλη τετάρτου βαθμού, ο Απολλώνιος από την Πέργη(270-186 π.Χ.) χρησιμοποιώντας έναν κύκλο και μια υπερβολή και ο Διοκλής με την κισσοειδή του καμπύλη, μια αλγεβρική καμπύλη τρίτου βαθμού.

3. Η τριχοτόμηση γωνίας

Το πρόβλημα της της τριχοτόμησης γωνίας ζητά να χωριστεί δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη. Και σε αυτό το πρόβλημα δόθηκαν πολλές λύσεις από διάφορους μαθηματικούς που χρησιμοποιούσαν πάντοτε και άλλες καμπύλες εκτός από ευθείες και και κύκλους. Ο Ιππίας χρησιμοποίησε μια μη αλγεβρική καμπύλη την οποία χρησιμοποίησε και ο Δεινόστρατος για να λύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.

Ο Αρχιμήδης έδωσε δύο λύσεις, η πρώτη χρησιμοποίησε μια τεταρτοβάθμια καμπύλη και η δεύτερη μια μη αλγεβρική καμπύλη, την επίπεδη έλικα. Ο Νικομήδης τριχοτόμησε την γωνία με την κογχοειδή καμπύλη με την οποία έλυσε και τον διπλασιασμό του κύκλου.

Πηγή: lecturesbureau